已知f0（x）=cosx-sinx，且f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1 （x）则f2012（x）=______．
题型：不详难度：来源：
已知f0（x）=cosx-sinx，且f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1 （x）则
f2012（x）=______． |
答案
因为f0（x）=cosx-sinx，
所以f1（x）=f′0（x）=-sinx-cosx，
f2（x）=f′1（x）=-cosx+sinx，
f3（x）=f′2（x）=sinx+cosx，
f4（x）=f′3（x）=cosx-sinx，…，
所以导函数是以4为周期的函数．
所以f2012（x）=f0（x）=cosx-sinx．
故答案为：cosx-sinx． |
举一反三
设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2011（x）=（ ）| A．sinx | B．-sinx | C．cosx | D．-cosx |
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| 设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=______ |
已知f"（x）是f（x）的导数，记f（1）（x）=f"（x），f（n）（x）=（f（n-1）（x））"（n∈N，n≥2），给出下列四个结论：
①若f（x）=xn，则f（5）（1）=120；
②若f（x）=cosx，则f（4）（x）=f（x）；
③若f（x）=ex，则f（n）（x）=f（x）（n∈N+）；
④设f（x）、g（x）、f（n）（x）和g（n）（x）（n∈N+）都是相同定义域上的可导函数，h（x）=f（x）•g（x），则h（n）（x）=f（n）（x）•g（n）（x）（n∈N+）．
则结论正确的是______（多填、少填、错填均得零分）． |
请先阅读：
设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=+x+x2+…+xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2x+3x2+4x3+…+nxn-1；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求-2+3-…+(-1)n-1n的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2-3•2+4•3+…+(-1)n-2n(n-1)=0． |
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