解:(1)当a=1时,f(x)=xlnx-x2,f′(x)=lnx+1-x. 由于极值点的导数值等于0,故要研究函数g(x)=f′(x)=lnx+1-x的零点的情况. g′(x)=-1, 当x∈(0,1)时,g′(x)=-1>0; 当x∈(1,+∞)时,g′(x)=-1<0. ∴g(x)=lnx+1-x在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. ∴g(x)max=g(1)=ln1+1-1=0,即f′(x)≤0. 故f′(x)=lnx+1-x只有一个零点x=1,且在x=1两侧都有f′(x)<0,故x=1不是极值点. ∴函数y=f(x)有0个极值点. (2)f′(x)=lnx+1-ax, 函数f(x)=xlnx-x2有两个极值⇔方程f′(x)=lnx+1-ax=0在(0,+∞)上有两个不等实根,且每一根两侧的导数f′(x)值异号⇔直线y=a与曲线h(x)=有两个交点. h′(x)=,当x∈(0,1)时,h′(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,且当x→+∞时,h(x)→0. ∴当x=1时,h(x)max=1,其图象大致是:
由图可知a的取值范围是(0,1). |