已知函数f(x)=(ax+1)ex.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值.
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=(ax+1)ex. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值. |
答案
(1)见解析 (2)当a>1时,f(x)在区间[-2,0]上的最小值为-a·; 当0<a≤1时,f(x)在区间[-2,0]上的最小值为. |
解析
解:依题意,函数的定义域为R, f′(x)=(ax+1)′ex+(ax+1)(ex)′=ex(ax+a+1). (1)①当a=0时,f′(x)=ex>0, 则f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); ②当a>0时,由f′(x)>0,解得x>-, 由f′(x)<0,解得x<-, 则f(x)的单调递增区间为(-,+∞), f(x)的单调递减区间为(-∞,-); ③当a<0时,由f′(x)>0,解得x<-, 由f′(x)<0解得,x>-, 则f(x)的单调递增区间为(-∞,-), f(x)的单调递减区间为(-,+∞). (2)①当时,)上是减函数, 在(-,0)上是增函数, 则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为f(-)=-a·; ②当时,即当0<a≤1时,f(x)在[-2,0]上是增函数,则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为f(-2)=. 综上,当a>1时,f(x)在区间[-2,0]上的最小值为-a·; 当0<a≤1时,f(x)在区间[-2,0]上的最小值为. |
举一反三
函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是________. |
函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是________. |
函数 (1)a=0时,求f(x)最小值; (2)若f(x)在是单调减函数,求a的取值范围. |
已知函数. (1) 当时,讨论的单调性; (2)设,当若对任意存在 使求实数的取值范围。 |
设三次函数的导函数为,函数的图象的一部分如下图所示,则( )
A.极大值为,极小值为 | B.极大值为,极小值为 | C.极大值为,极小值为 | D.极大值为,极小值为 |
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