设函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.

题型：不详难度：来源：

设函数，其中为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.

答案

（1）减区间为，增区间为
（2）

解析

（1）由已知，
所以，
由，得，
所以，在区间上，，
函数在区间上单调递减；
在区间上，，
函数在区间上单调递增；
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，
所以曲线在点处切线为：.
切线与轴的交点为，与轴的交点为，
因为，所以，
，
在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.
所以，当时，有最大值，此时，
所以，的最大值为.