设函数,其中为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间;(2)记曲线在点(其中)处的切线为,与轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.

设函数,其中为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间;(2)记曲线在点(其中)处的切线为,与轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.

题型:不详难度:来源:
设函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间;
(2)记曲线在点(其中)处的切线为轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.
答案
(1)减区间为,增区间为
(2)
解析
(1)由已知
所以
,得
所以,在区间上,
函数在区间上单调递减;
在区间上,
函数在区间上单调递增;
即函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)因为
所以曲线在点处切线为.
切线轴的交点为,与轴的交点为
因为,所以

在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.
所以,当时,有最大值,此时
所以,的最大值为.
举一反三
已知曲线满足下列条件:
①过原点;②在处导数为-1;③在处切线方程为.
(1) 求实数的值;
(2)求函数的极值.
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已知函数,且
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)设函数,若函数上单调递增,求实数的取值范围.
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已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)若对任意的都有恒成立,求实数的取值范围.
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已知函数在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式恒成立,则实数的取值范围为(   )
A.B.C.D.

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巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数,它们在同一坐标系内的图象如图所示.
(1)若,则        
(2)设函数,则的大小关系为        (用“<”连接).

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