已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0.
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已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a. (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0. |
答案
(1) 函数f(x)的单调递增区间为和, 单调递减区间为. (2)见解析 |
解析
(1)由题意得f′(x)=12x2-2a. 当a≤0时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 当a>0时,f′(x)=12, 此时函数f(x)的单调递增区间为和, 单调递减区间为. (2)证明:由于0≤x≤1,故当a≤2时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. 当a>2时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. 设g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则 g′(x)=6x2-2=6. 于是 所以g(x)min=g=1->0. 所以当0≤x≤1时,2x3-2x+1>0. 故f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0. |
举一反三
函数y=xcos x-sin x在下面哪个区间内是增函数 ( ). |
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1. (1)求a、b; (2)求f(x)的单调区间. |
设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. ①求f(x)的单调区间;②求所有实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立. |
函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是________. |
函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为______________. |
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