设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0.①求f(x)的单调区间;②求所有实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.
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设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. ①求f(x)的单调区间;②求所有实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立. |
答案
①f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞).②a=e |
解析
①f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0, 所以f′(x)=-2x+a=. 由于a>0,∴由f′(x)>0知0<x<a, 由f′(x)<0知x>a. 所以,f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞). ②由题意知f(1)=a-1≥e-1, 即a≥e. 由①知f(x)在[1,e]内递增, 要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立. 只要 ∴a=e. |
举一反三
函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是________. |
函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为______________. |
已知函数f(x)=-x2+blnx在区间[,+∞)上是减函数,则b的取值范围是________. |
已知函数f(x)=x2-mlnx+(m-1)x,当m≤0时,试讨论函数f(x)的单调性; |
若函数f(x)=-+blnx在(1,+∞)上是减函数,求实数b的取值范围. |
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