已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求f(x)在[-1,1]上的最小值;(2
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R). (1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求f(x)在[-1,1]上的最小值; (2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围. |
答案
(1) 最小值为f(0)=-4 (2) (3,+∞) |
解析
(1)f′(x)=-3x2+2ax. 根据题意得,f′(1)=tan=1,∴-3+2a=1,即a=2. ∴f(x)=-x3+2x2-4,则f′(x)=-3x2+4x. 令f′(x)=0,得x1=0,x2=.
x
| -1
| (-1,0)
| 0
| (0,1)
| 1
| f′(x)
|
| -
| 0
| +
|
| f(x)
| -1
|
| -4
|
| -3
| ∴当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值为f(0)=-4. (2)∵f′(x)=-3x. ①若a≤0,则当x>0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. 又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4. ∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0. ②若a>0,则当0<x<时,f′(x)>0; 当x>时,f′(x)<0. 从而f(x)在上单调递增,在上单调递减. ∴当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f=-+-4=-4. 根据题意得,-4>0,即a3>27.∴a>3. 综上可知,a的取值范围是(3,+∞). |
举一反三
已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a. (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0. |
函数y=xcos x-sin x在下面哪个区间内是增函数 ( ). |
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1. (1)求a、b; (2)求f(x)的单调区间. |
设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. ①求f(x)的单调区间;②求所有实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立. |
函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是________. |
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