设f(x)＝，其中a为正实数．①当a＝时，求f(x)的极值点；②若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

题型：不详难度：来源：

设f(x)＝，其中a为正实数．
①当a＝时，求f(x)的极值点；②若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

答案

①x＝是极大值点，x＝是极小值点②(0,1]

解析

f′(x)＝
①当a＝时，f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝或x＝.
当x<时，f′(x)>0；当<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.
∴f(x)在上是增函数，上是减函数，上是增函数．
∴x＝是极大值点，x＝是极小值点．
②若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．由于a>0，又e^x>0，(1＋ax²)²>0.∴ax²－2ax＋1≥0在R上恒成立．即Δ＝4a²－4a≤0.
∴0<a≤1.所以a的范围为(0,1]．