(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= +ax-(a+1)= . 当0<a<1时,由f′(x)>0解得0<x<1或x> ,由f′(x)<0解得1<x< , 所以函数f(x)在(0,1), 上单调递增,在 上单调递减. 当a=1时,f′(x)≥0对x>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a>1时,由f′(x)>0解得x>1或0<x< ,由f′(x)<0解得 <x<1. 所以函数f(x)在 ,(1,+∞)上单调递增,在 上单调递减. (2)证明:当a=1时,原不等式等价于ln x-2x+ + <0. 因为x>1,所以 = < , 因此ln x-2x+ + <ln x-2x+ + . 令g(x)=ln x-2x+ + , 则g′(x)= . 令h(x)= ,当x>1时,h′(x)=- x2-4x+ <0, 所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)<h(1)=0,即g′(x)<0, 所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,则g(x)<g(1)=0, 所以当x>1时,f(x)< x2- - . |