设函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x(a>0,a为常数).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=1,证明:当x>1时,f(x)< x

设函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x(a>0,a为常数).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=1,证明:当x>1时,f(x)< x

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设函数f(x)=ln xx2-(a+1)x(a>0,a为常数).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a=1,证明:当x>1时,f(x)< x2.
答案
(1) 在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减(2)见解析
解析
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ax-(a+1)=.
当0<a<1时,由f′(x)>0解得0<x<1或x>,由f′(x)<0解得1<x<
所以函数f(x)在(0,1),上单调递增,在上单调递减.
a=1时,f′(x)≥0对x>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
a>1时,由f′(x)>0解得x>1或0<x<,由f′(x)<0解得<x<1.
所以函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减.
(2)证明:当a=1时,原不等式等价于ln x-2x<0.
因为x>1,所以<
因此ln x-2x<ln x-2x.
g(x)=ln x-2x
g′(x)=.
h(x)=,当x>1时,h′(x)=-x2-4x<0,
所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)<h(1)=0,即g′(x)<0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,则g(x)<g(1)=0,
所以当x>1时,f(x)<x2.
举一反三
已知函数,其中
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问是否存在,使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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已知
(1)若存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(2)若,求证:当时,恒成立;
(3)利用(2)的结论证明:若,则.
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已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)求上的最大值.
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函数f(x)=x3ax2+(a-1)x+1在区间(1,5)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是(  )
A.[4,5]B.[3,5]C.[5,6]D.[6,7]

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函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是(  )
A.0          B.1
C.2 D.无数个

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