设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.(1)求a,b的值;(2)
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设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的最大值. |
答案
(1) a=1,b=0. (2) |
解析
(1)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0. 因为f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn,所以f′(1)=-a. 又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以-a=-1,即a=1.故a=1,b=0. (2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1,f′(x)=(n+1)xn-1. 令f′(x)=0,解得x=,在上,f′(x)>0,故f(x)单调递增; 而在上,f′(x)<0,故f(x)单调递减. 故f(x)在(0,+∞)上的最大值为f=n·=. |
举一反三
函数y=x2-ln x的单调减区间是 ( ).A.(-1,1] | B.(0,1] | C.[1,+∞) | D.(0,+∞) |
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已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( ).A.(-∞,0) | B.(0,) | C.(0,1) | D.(0,+∞) |
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已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. |
设函数f(x)=x+ax2+bln x,曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2. (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)≤2x-2. |
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