设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)＝x＋ax²＋bln x，曲线y＝f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.

答案

(1) (2)见解析

解析

(1)f′(x)＝1＋2ax＋，
由题设，y＝f(x)在点P(1,0)处切线的斜率为2.
∴解之得 
因此实数a，b的值分别为－1和3.
(2)f(x)定义域(0，＋∞)，且f(x)＝x－x²＋3ln x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x²＋3ln x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.
∴g(x)在(0,1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调减少．
∴g(x)在x＝1处有最大值g(1)＝0
故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.