试题分析:(1)先求函数的定义域,利用分式的求导法则求,令,分别求函数的增区间与减区间,可求得函数的极大值,从而求得函数的最大值; (2)构造函数,利用导数法证明在在上递增,在上递减.由于函数的极大值为,时, 由,得出, 从而证明结论成立. (3)由数学归纳法证明.用数学归纳法证明的一般步骤是(1)证明当时命题成立;(2)假设当且时命题成立,证明当时命题成立. 由(1),(2)可知,命题对一切正整数都成立. 一般的与正整数有关的等式、不等式可考虑用数学归纳法证明. 试题解析:(1), 时,,当时,, 即在上递增,在递减.故时, 有. 4分 (2)构造函数, 则 易证在在上递增,在上递减. 时,有. ,即, 即证. 8分 (3)利用数学归纳法证明如下: 当时,命题显然成立; 假设当时,命题成立,即当时, . 则当,即当时, , 又假设 , 即
=. 这说明当时,命题也成立. 综上①②知,当,正数满足. 14分 |