设.(1)若,求最大值;(2)已知正数,满足.求证:;(3)已知,正数满足.证明:.

设.(1)若,求最大值;(2)已知正数,满足.求证:;(3)已知,正数满足.证明:.

题型:不详难度:来源:

(1)若,求最大值;
(2)已知正数满足.求证:
(3)已知,正数满足.证明:
答案
(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
解析

试题分析:(1)先求函数的定义域,利用分式的求导法则求,令分别求函数的增区间与减区间,可求得函数的极大值,从而求得函数的最大值;
(2)构造函数,利用导数法证明在在上递增,在上递减.由于函数的极大值为时,
,得出
从而证明结论成立. 
(3)由数学归纳法证明.用数学归纳法证明的一般步骤是(1)证明当时命题成立;(2)假设当时命题成立,证明当时命题成立. 由(1),(2)可知,命题对一切正整数都成立. 一般的与正整数有关的等式、不等式可考虑用数学归纳法证明.
试题解析:(1)
时,,当时,
上递增,在递减.故时,
.                   4分
(2)构造函数

易证在在上递增,在上递减.
时,有.
,即
即证.                           8分
(3)利用数学归纳法证明如下:
时,命题显然成立;
假设当时,命题成立,即当时,
.
则当,即当时,

又假设





=.
这说明当时,命题也成立.
综上①②知,当,正数满足.                   14分
举一反三
已知函数试讨论的单调性.
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若幂函数f(x)的图象过点(),则函数g(x)=f(x)的单调递减区间为(   )
A.(-∞,0)B.(-∞,-2)C.(-2,-1)D.(-2,0)

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已知函数
(1)求函数单调递增区间;
(2)若存在,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数上有零点,求的最大值.
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函数的单调增区间是                     
题型:不详难度:| 查看答案
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