试题分析:(1)先求函数的定义域,利用分式的求导法则求 ,令 , 分别求函数的增区间与减区间,可求得函数的极大值,从而求得函数的最大值; (2)构造函数 ,利用导数法证明 在在 上递增,在 上递减.由于函数 的极大值为 , 时, 由![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095927-66346.png) ,得出 , 从而证明结论 成立. (3)由数学归纳法证明.用数学归纳法证明的一般步骤是(1)证明当 时命题成立;(2)假设当 且 时命题成立,证明当 时命题成立. 由(1),(2)可知,命题对一切正整数 都成立. 一般的与正整数 有关的等式、不等式可考虑用数学归纳法证明. 试题解析:(1) ,
时, ,当 时, , 即 在 上递增,在 递减.故 时, 有 . 4分 (2)构造函数 , 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095932-56992.png) 易证 在在 上递增,在 上递减.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095932-40516.png) 时,有![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095933-95079.png) .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095932-40516.png) ,即 , 即证 . 8分 (3)利用数学归纳法证明如下: 当 时,命题显然成立; 假设当 时,命题成立,即当 时,
. 则当 ,即当时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095934-91587.png) , 又假设![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095934-91416.png)
, 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095935-83632.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095935-83750.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095935-53360.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095935-88168.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018095936-49566.png) = . 这说明当 时,命题也成立. 综上①②知,当 ,正数 满足 . 14分 |