试题分析:(1)先通过函数的导函数是二次函数,且当时,有极值将函数的导函数设出来:.从而可设,其中为常数.再由极大值为2及将求出.注意,极大值为2,即或时,函数值为2.结合正好可以将其中一种情况舍去,从而解出,于是得到函数的解析式;(2)由,列出表格,分析函数的单调性和极值.有两个零点,即方程有两个根,而,即方程与方程各只有一个解.结合函数的单调性和极值,发现方程只有当或时才只有一个解.所以有或或,从而解得或;(3)由于存在实数,使得,也就是说,否则就不存在实数,使得.因此本题转化为求在上的最大值与最小值.根据条件可得,所以其导函数.然后讨论的范围以得到在上单调性,从而找出最值.再通过不等式得到的取值范围.注意当时比较麻烦,在上先减后增,,而最大值无法确定是中的哪一个,所以我们用来表示不等式. 试题解析:(1)由条件,可设,则,其中为常数. 因为极大值为2.所以或,即或.由得①.所以,即②.由①②可得,.所以. (2)由(1),得,即.列表: 又因为函数有两个根,即方程有两个根,而, 所以或或,解得或. 所以若函数有两个零点,实数的取值范围为. (3)由于存在实数,使得,则问题等价于. , ,.在上, 当时,,在上递减, ,即,得. 当时,,在上递增, ,即,得. 当时,在上,递减;在上,递增. ,即.(*) ,在上递减,. ,而,不等式(*)无解. 综上所述,存在,使得命题成立. |