已知.(1)求的极值,并证明:若有; (2)设,且,,证明:,若,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明);(3)证明:若,则.
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已知.(1)求的极值,并证明:若有; (2)设,且,,证明:,若,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明);(3)证明:若,则.
题型:不详
难度:
来源:
已知
.
(1)求
的极值,并证明:若
有
;
(2)设
,且
,
,证明:
,
若
,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明);
(3)证明:若
,则
.
答案
(1)详见解析;(2) 详见解析;(3) 详见解析.
解析
试题分析:(1)利用求导探求函数的单调性,进而确定其极值;借助结论
时
恒成立,证明
;(2)借助第一问的结论,通过拼凑技巧进行构造要证明的不等式
;(3)借助第二问的猜想结论,进行构造,利用对数运算进行化简整理即可得到证明的结论.
试题解析:(1)
则
当x∈(0,1)时
,x∈(1,+∞)时
,
∴
在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
2分
∴当
时
恒成立,即
时
恒成立。
∴
4分
证明:
,
(2)证明:设
,且
,令
,则
,且
,
,
由(1)可知
①
②
①
+②
,得
∴
8分
猜想:若
,且
时有
9分
(3)证明:令
由猜想结论得
=
∴
,
即有
。 14分
举一反三
已知函数
.
(1) 当
时,求函数
的单调区间;
(2) 当
时,函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内,求实数
的取值范围.
(3) 求证:
,(其中
,
是自然对数的底).
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,
.
(Ⅰ)求
的极值;
(Ⅱ)当
时,若不等式
在
上恒成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设函数
(Ⅰ)若
在
时有极值,求实数
的值和
的单调区间;
(Ⅱ)若
在定义域上是增函数,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
为函数
图象上一点,O为坐标原点,记直线
的斜率
.
(1)若函数
在区间
上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)求证:
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,点
为一定点,直线
分别与函数
的图象和
轴交于点
,
,记
的面积为
.
(I)当
时,求函数
的单调区间;
(II)当
时, 若
,使得
, 求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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