已知.(1)求的极值,并证明:若有; (2)设,且,,证明:,若,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明);(3)证明:若,则.

已知.(1)求的极值,并证明:若有; (2)设,且,,证明:,若,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明);(3)证明:若,则.

题型:不详难度:来源:
已知.
(1)求的极值,并证明:若
(2)设,且,证明:
,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明);
(3)证明:若,则.
答案
(1)详见解析;(2) 详见解析;(3) 详见解析.
解析

试题分析:(1)利用求导探求函数的单调性,进而确定其极值;借助结论恒成立,证明;(2)借助第一问的结论,通过拼凑技巧进行构造要证明的不等式;(3)借助第二问的猜想结论,进行构造,利用对数运算进行化简整理即可得到证明的结论.
试题解析:(1)
当x∈(0,1)时,x∈(1,+∞)时
在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
                                              2分
∴当恒成立,即恒成立。
         4分
证明:
(2)证明:设,且,令,则,且

由(1)可知   ①
              ②
+②,得

      8分
猜想:若,且时有
       9分
(3)证明:令
由猜想结论得

=

即有。                   14分
举一反三
已知函数.
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.
(3) 求证:,(其中是自然对数的底).
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已知函数.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)当时,若不等式上恒成立,求的取值范围.
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设函数   
(Ⅰ)若时有极值,求实数的值和的单调区间;
(Ⅱ)若在定义域上是增函数,求实数的取值范围.
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已知为函数图象上一点,O为坐标原点,记直线的斜率
(1)若函数在区间上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)当 时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:
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已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为.
(I)当时,求函数的单调区间;
(II)当时, 若,使得, 求实数的取值范围.
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