已知函数.(1) 当时,求函数的单调区间;(2) 当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.(3) 求证:,(其中,是自然对数的底).
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已知函数.(1) 当时,求函数的单调区间;(2) 当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.(3) 求证:,(其中,是自然对数的底).
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
.
(1) 当
时,求函数
的单调区间;
(2) 当
时,函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内,求实数
的取值范围.
(3) 求证:
,(其中
,
是自然对数的底).
答案
(1) 函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;(2)
.(3)详见解析.
解析
试题分析:本小题主要通过函数与导数综合应用问题,具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容,考查考生的运算求解能力,推理论证能力,其中重点对导数对函数的描述进行考查,本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题,也是一道关于数列拆分问题的典型例题,对今后此类问题的求解有很好的导向作用. (1)代入
的值,明确函数解析式,并注明函数的定义域,然后利用求导研究函数的单调性;(2)利用构造函数思想,构造
,然后利用转化思想,将问题转化为只需
,下面通过对
进行分类讨论进行研究函数的单调性,明确最值进而确定
的取值范围.(3)首先利用裂项相消法将不等式的坐标进行拆分和整理,然后借助第二问的结论
进行放缩证明不等式.
试题解析::(1) 当
时,
,
,
由
解得
,由
解得
.
故函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
. (4分)
(2) 因函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内,
则当
时,不等式
恒成立,即
恒成立,、
设
(
),只需
即可.
由
,
(i) 当
时,
,
当
时,
,函数
在
上单调递减,故
成立.
(ii) 当
时,由
,因
,所以
,
① 若
,即
时,在区间
上,
,
则函数
在
上单调递增,
在
上无最大值,当
时,
,此时不满足条件;
② 若
,即
时,函数
在
上单调递减,
在区间
上单调递增,同样
在
上无最大值,当
时,
,不满足条件.
(iii) 当
时,由
,∵
,∴
,
∴
,故函数
在
上单调递减,故
成立.
综上所述,实数a的取值范围是
. (8分)
(3) 据(2)知当
时,
在
上恒成立
(或另证
在区间
上恒成立),
又
,
因此
.
. (12分)
举一反三
已知函数
,
.
(Ⅰ)求
的极值;
(Ⅱ)当
时,若不等式
在
上恒成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设函数
(Ⅰ)若
在
时有极值,求实数
的值和
的单调区间;
(Ⅱ)若
在定义域上是增函数,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
为函数
图象上一点,O为坐标原点,记直线
的斜率
.
(1)若函数
在区间
上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)求证:
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,点
为一定点,直线
分别与函数
的图象和
轴交于点
,
,记
的面积为
.
(I)当
时,求函数
的单调区间;
(II)当
时, 若
,使得
, 求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,其中
为正实数,
.
(I)若
是
的一个极值点,求
的值;
(II)求
的单调区间.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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