本试题主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用。 ⑴因为当 且函数 在其定义域上为增函数时,则可知导函数恒大于等于零,得到 的取值范围; ⑵若函数 在 处取得极值,则求解导数可知导函数在该点的到数值为零。 ⑶在⑵的条件下, ,然后对于参数a分情况得到函数 的单调性。 解:(1)当 时,函数 ,其定义域为 。
。 函数 是增函数,
当 时, 恒成立。 ……………………………………2分 即当 时, 恒成立。
当 时, ,且当 时取等号。
的取值范围为 。………………………………………………………………4分 (2) ,且函数 在 处取得极值,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105302-55883.png) 此时 ………………………………………………6分 当 ,即 时, 恒成立,此时 不是极值点。
………………………………………………………………………8分 (3)由 得 ①当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105303-57910.png) 当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105303-26766.png) 当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105304-95871.png)
当 时, 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 。……………………10分 ②当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105304-13014.png) 当![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105304-85825.png) 当![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105305-13410.png)
当 时, 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 。 ③当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105305-28518.png) 当![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018105305-95096.png) 当
当 时, 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 。 ……………………………………………………13分 综上所述: 当 时, 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; 当 时, 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; 当 时, 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 。 ………………………………………………………………14分 |