本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 (1)依题意,知的定义域为(0,+∞), 当时,, 判定单调性得到极值。 (2)转化为,,则有≤,在上恒成立,所以≥,解决。 (3)因为方程有唯一实数解, 所以有唯一实数解,设,分析图像与x轴的交点问题。 解: (1)依题意,知的定义域为(0,+∞), 当时,, ……………2分 令=0,解得.(∵) 因为有唯一解,所以,当时,,此时单调递增;当时,,此时单调递减。 所以的极大值为,此即为最大值 ……………4分 (2),,则有≤,在上恒成立,所以≥, 当时,取得最大值,所以≥………8分 (3)因为方程有唯一实数解, 所以有唯一实数解,设, 则.令,. 因为,,所以(舍去),, 当时,,在(0,)上单调递减, 当时,,在(,+∞)单调递增 当时,=0,取最小值. 则既……………10分所以,因为,所以(*)设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解.因为,所以方程(*)的解为,即,解得……………12分 |