已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
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已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=x
2
-(2a+1)x+alnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
答案
(1)(0,
),(1,+∞) (2)a(lna-a-1)
解析
本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
解:(1)当a=1时,f(x)=x
2
-3x+lnx,定义域为(0,+∞),
f′(x)=2x-3+
=
=
.
令f′(x)=0,得x=1或x=
.
x
(0,
)
(
,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的单调增区间为(0,
),(1,+∞).
(2)f′(x)=2x-(2a+1)+
=
=
,令f′(x)=0,得x=a或x=
.
当a≤
时,f(x)在[
,+∞)上单调增,所以f(x)在区间[1,e]上单调增;
当
<a≤1时,f(x)在(0,
],[a,+∞)上单调增,所以f(x)在区间[1,e]上单调增.
综上,当a≤1时,f(x)
min
=f(1)=-2a;
当1<a<e时,
x
(1,a)
a
(a,e)
f′(x)
-
0
+
f(x)
a(lna-a-1)
所以f(x)
min
=f(
举一反三
设函数
(1)若
在点x=0处的切线方程为y=x,求m,n的值。
(2)在(1)条件下,设
求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图所示的是函数
的大致图象,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c在x=
与x=1时都取得极值.
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对
,不等式f(x)<c
2
恒成立,求c的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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函数
的单调递减区间是
。
题型:不详
难度:
|
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己知函数
(1)求函数
的单调区间;
(2)设函数
,是否存在实数a、b、c∈[0,1],使得
若存在,求出t的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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