设常数，函数.（Ⅰ）令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；（Ⅱ）求证：在上是增函数；（Ⅲ）求证：当时，恒有．

题型：不详难度：来源：

设常数，函数.
（Ⅰ）令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；
（Ⅱ）求证：在上是增函数；
（Ⅲ）求证：当时，恒有．

答案

解（Ⅰ）∵，
∴，       ……2分
∴，
∴，令，得，         ……4分
列表如下：

		2
		0
	↘	极小值	↗

∴在处取得极小值，
即的最小值为．              ……6分
，
∵，∴，又，∴．        ……8分
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正数，
∴对一切，恒有，          ……10分
从而当时，恒有，                     ……11分
故在上是增函数．                      ……12分
证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：在上是增函数，
∴当时，，                          ……13分
又，                     ……14分
∴，即，             
∴
故当时，恒有．             ……15分

解析

略