(1)当时,, ………1分 由题意得:,即, ………3分 解得:。 ………4分 (2)由(1)知: ①当时,, 解得;解得或 ∴在和上单减,在上单增, 由得:或, ………6分 ∵ , ∴在上的最大值为。 ………7分 ②当时,, 当时,;当时,在单调递增; ∴在上的最大值为。 ……9分 ∴当时,在上的最大值为; 当时,在上的最大值为。 …………10分 (3)假设曲线上存在两点满足题意,则只能在轴两侧, 不妨设,则,且。 ∵是以为直角顶点的直角三角形 ∴,即 (*) ……11分 是否存在等价于方程(*)是否有解。 ①若,则,代入方程(*)得:, 即:,而此方程无实数解,从而, ………12分 ∴,代入方程(*)得:, 即:, ………14分 设,则在恒成立, ∴在上单调递增,从而,则的值域为。 ∴当时,方程有解,即方程(*)有解。 ∴对任意给定的正实数,曲线上总存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上。 ……16分 |