设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）（1）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求实数m的最小值；（2）求函数g（x）=f（x）-x
题型：马鞍山模拟难度：来源：
| 设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）（1）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求实数m的最小值；（2）求函数g（x）=f（x）-x2-x在区间[0，2]上的极值． |
答案
（1）设f（x）在[0，1]上的最大值是f（x）max，
∵对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，
∴f（x）max≤m．
∵f′(x)=2(1+x)-=，
当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，
故f（x）在[0，1]内为增函数．
∴f（x）max=f（1）=4-2ln2，
∴m≥4-2ln2，
即实数m的最小值是4-2ln2．
（2）∵g（x）=f（x）-x2-x=1+x-2ln（1+x），
∴g′(x)=1-=．
当x＞1时，g′（x）＞0；当-1＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数，
∴g（x）在[0，2]上的极小值为g（1）=2-2ln2． |
举一反三
已知函数f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．
（Ⅰ）设F（x）=ax2+f"（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）若斜率为k的直线与曲线y=f"（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜＜x2． |
已知函数f(x)=x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g(x)=f(x)+是[2，+∞）上的增函数．
①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． |
已知函数 f(x)=2lnx+ax2-(2a+1)x (a∈R)．
（Ⅰ）当a=-时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性． |
已知函数f(x)=，g（x）=bx2+3x．
（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数φ(x)=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值． |
已知函数f(x)=ln(2+3x)-x2．
（1）求f（x）在[0，1]上的单调区间；
（2）若对任意x∈[，1]，不等式|a-f（x）|＞ln5，求实数a的取值范围． |
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