设a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+2)x2+12ax+4,(1)若x=3是f(x)的一个极值点,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,1)上为增函数,求

设a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+2)x2+12ax+4,(1)若x=3是f(x)的一个极值点,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,1)上为增函数,求

题型:西城区一模难度:来源:
设a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+2)x2+12ax+4,
(1)若x=3是f(x)的一个极值点,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,1)上为增函数,求a的取值范围.
答案
(1)f′(x)=6x2-6(a+2)x+12a
∵x=3是f(x)的一个极值点
∴f′(3)=0,即54-18(a+2)+12a=0
解得a=3,经检验知,a=3时,x=3是f(x)的一个极值点
∴a=3.

(2)∵f(x)在(-∞,1)上为增函数
∴f′(x)=6x2-6(a+2)x+12a≥0恒成立,x∈(-∞,1).
即x2+(2-x)a-2x≥0恒成立,
∵x∈(-∞,1).
∴2-x>0
∴a≥
2x-x2
2-x
恒成立.
令g(x)=
2x-x2
2-x
=x<1
∴a≥1.
举一反三
设f(x)=ln(x+1),(x>-1)
(1)讨论函数g(x)=af(x)-
1
2
x2
(a≥0)的单调性.
(2)求证:(1+
1
1
)(1+
1
2
)(1+
1
3
)…(1+
1
n
)<e
n+2
2
(n∈N*
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax+blnx(x>0,实数a,b为常数).
(Ⅰ)若a=1,b=-1,求f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)若a=-2-b,讨论函数f(x)的单调性.
题型:怀柔区一模难度:| 查看答案
设函数f(x)=
2
3
x3+
1
2
ax2+x
,a∈R.
(Ⅰ)当x=2时,f(x)取得极值,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)内为增函数,求a的取值范围.
题型:朝阳区一模难度:| 查看答案
已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
(I)若f(x)在x=1时,有极值-1,求b、c的值;
(II)当b为非零实数时,证明:f(x)的图象不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线;
(III)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,求证:M≥
3
2
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=-
2
3
x3+(a+
1
a
)x2-2x+4
(其中a<-1)的单调递减区间为(  )
A.(-∞,
1
a
)
、(a,+∞)
B.(-∞,a)、(
1
a
,+∞)
C.(
1
a
,a)
D.(a,
1
a
)
题型:普宁市模拟难度:| 查看答案
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