(1)f′(x)=3x2+2bx+c, 由f(x)在x=1时,有极值-1得 即解得(3分) 当b=1,c=-5时, f′(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1), 当x>1时,f′(x)>0, 当-<x<1时,f′(x)<0. 从而符合在x=1时,f(x)有极值,(4分) (Ⅱ)假设f(x)图象在x=t处的切线与直线(b2-c)x+y+1=0平行, ∵f′(t)=3t2+2bt+c, 直线(b2-c)x+y+1=0的斜率为c-b2, ∴3t2+2bt+c=c-b2,(7分) 即3t2+2bt+b2=0. ∵△=4(b2-3b2)=-8b2, 又∵b≠0,∴△<0. 从而方程3t2+2bt+b2=0无解, 因此不存在t,使f′(t)=c-b2, 却f(x)的图象不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线.(8分) (Ⅲ)∵|f′(x)|=|3(x+)2+c|, ①若|-|>1,则M应是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一个, ∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12, ∴M>6,从而M≥.(10分) ②当-3≤b≤0时,2M≥|f′(-1)|+|f′(-,)| =|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|(b-3)2|≥3,所以M≥.(12分) ③当0<b≤3时,2M≥|f′(1)|+|f′(-)|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3| =|(b+3)2|>3,∴M≥. 综上所述,M≥.(14分) |