已知函数f（x）=-x4+2x2．（I）求f（x）的单调区间；（II）设点P（x0，f（x0））在曲线y=f（x）上，曲线在点P处的切线为l．若x0∈[-1，2
题型：昆明模拟难度：来源：
已知函数f（x）=-x4+2x2．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）设点P（x0，f（x0））在曲线y=f（x）上，曲线在点P处的切线为l．若x0∈[-1，2]，求l在y轴上的截距的取值范围． |
答案
（I）f′（x）=-4x3+4x=-4x（x+1）（x-1）…（1分）
令f′（x）＞0得x＜-1或0＜x＜1；令f′（x）＜0得-1＜x＜0或x＞1．
因此，f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0，1）；单调减区间为（-1，0），（1，+∞）；…（6分）
（II）由题意知直线l的方程为y-f（x0）=f"（x0）（x-x0），…（8分）
令x=0，得l在y轴上的截距b=-x0f′（x0）+f（x0）=-4x0(x0-)+2-=3-2．
令t=，∴t∈[0，4]，∴b=3t2-2t=3(t-)2-．
∴当t=时，bmin=-；当t=4时，bmax=40．
∴l在y轴上的截距的取值范围是[-，40]．…（12分） |
举一反三
| 设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）（1）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求实数m的最小值；（2）求函数g（x）=f（x）-x2-x在区间[0，2]上的极值． |
已知函数f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．
（Ⅰ）设F（x）=ax2+f"（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）若斜率为k的直线与曲线y=f"（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜＜x2． |
已知函数f(x)=x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g(x)=f(x)+是[2，+∞）上的增函数．
①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． |
已知函数 f(x)=2lnx+ax2-(2a+1)x (a∈R)．
（Ⅰ）当a=-时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性． |
已知函数f(x)=，g（x）=bx2+3x．
（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数φ(x)=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值． |
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