f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,(x2+1)f′(x)+2xf(x)<0,且f(-1)=0,则不等式f(x)>0的解集是( )A.(1,+∞)B.(
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f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,(x2+1)f′(x)+2xf(x)<0,且f(-1)=0,则不等式f(x)>0的解集是( )A.(1,+∞) | B.(-1,0)∪(1,+∞) | C.(-∞,-1) | D.(-∞,-1)∪(0,1) |
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答案
令F(x)=(x2+1)f(x), 则F′(x)=(x2+1)f′(x)+2xf(x), ∵当x>0时,(x2+1)f′(x)+2xf(x)<0, ∴当x>0时,F′(x)<0, ∴F(x)=(x2+1)f(x)在(0,+∞)上单调递减, ∵f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=0, ∴f(1)=0, ∴当0<x<1时,F(x)=(x2+1)f(x)>0, ∴f(x)>0;① 又F(-x)=)=(x2+1)f(-x)=-(x2+1)f(x)=-F(x), ∴F(x)=(x2+1)f(x)为奇函数,又x>0时,F(x)=(x2+1)f(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴x<0时,F(x)=(x2+1)f(x)在(-∞,0)上单调递减, ∵f(-1)=0, ∴当x<-1时,F(x)=(x2+1)f(x)>0,从而f(x)>0;② 由①②得:0<x<1或x<-1时f(x)>0. ∴不等式f(x)>0的解集是(0,1)∪(-∞,-1). 故选D. |
举一反三
函数f(x)=1+x-sinx,x∈(0,2π),则函数f(x)( )A.在(0,2π)内是增函数 | B.在(0,2π)内是减函数 | C.在(0,π)内是增函数,在(π,2π)内是减函数 | D.在(0,π)内是减函数,在(π,2π)内是增函数 |
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若定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(x+3),且(x-2)f′(x)<0,a=f (lo5),b=f (lo15),c=f (20.5),则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>c | B.c>b>a | C.b>a>c | D.c>a>b |
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已知函数f(x)=(x2-ax)ex(x∈R),a为实数. (Ⅰ)当a=0时,求函数f(x)的单调增区间; (Ⅱ)若f(x)在闭区间[-1,1]上为减函数,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是______. |
20、已知函数f(x)=(a∈R),g(x)= (1)求函数g(x)在x=1处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间与极值; (3)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围. |
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