定义在D上的函数f(x),如果满足;对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数
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定义在D上的函数f(x),如果满足;对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数
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定义在D上的函数f(x),如果满足;对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a•2
x
+4
x
,g(x)=
1-
2
x
1+
2
x
.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)求函数g(x)在[0,1]上的上界T的取值范围;
(3)若函数f(x)在(-∞,0]上是以3为上界的函数,求实数a的取值范围.
答案
(1)当a=1时,f(x)=1+a•2
x
+4
x
,设t=2
x
,所以t∈(1,+∞)
∴函数的值域是(3,+∞),不存在正数M,即函数在x∈(0,+∞)上不是有界函数.
(2)g(x)=
1-
2
x
1+
2
x
=
2
1+
2
x
-1
又x∈[0,1],函数在此区间上是减函数,故g(1)≤g(x)≤g(0)
∴
2
3
≤g(x)≤1
故上界的取值范围是[1,+∞)
(3)由已知函数f(x)在(-∞,0]上是以3为上界的函数,即:|1+a×2
x
+4
x
|≤3
设t=2
x
,所以t∈(0,1),不等式化为|1+at+t
2
|≤3
当0
<-
a
2
≤1
时,1-
1
4
a
2
≥-3
且2+a≤3得-2≤a<0
当
-
a
2
≤0或
-
a
2
≥1
即a≤-2或a≥0时,得-5≤a≤-2或0≤a≤1
综上有-5≤a≤1
举一反三
若函数f(x)=-a(x-x
3
)的递减区间为(
-
3
3
,
3
3
),则a的取值范围是( )
A.a>0
B.-1<a<0
C.a>1
D.0<a<1
题型:不详
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已知
a>0,b∈R,函数f(x)=
1
2
x
2
+alnx-(a+1)x+b
.
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(II)令a=2,若经过点A(3,0)可以作三条不同的直线与曲线y=f(x)相切,求b的取值范围.
题型:不详
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已知a,b是正实数,函数f(x)=-
1
3
x
3
+ax
2
+bx在x∈[-1,2]上单调递增,则a+b的取值范围为( )
A.
(0,
5
2
]
B.
[
5
2
,+∞)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
题型:不详
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+a
2
在x=1处有极值10,求实数a,b的值;并判断f(1)=10是极大值还是极小值.
题型:不详
难度:
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已知函数f(x)=
1
3
x
3
-
1
2
(a+1)x
2
+ax,g(x)=f′(x)是函数f(x)的导函数,其中实数a是不等1的常数.
(1)设a>1,讨论函数f(x)在区间[0,a+1]内零点的个数;
(2)求证:当-1<a<1时,g(x)<e
x
在[0,+∞)内恒成立.
题型:不详
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|
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