已知函数g(x)=13ax3+2x2-2x,函数f(x)是函数g(x)的导函数.(1)若a=1,求g(x)的单调减区间;(2)当a∈(0,+∞)时,若存在一个与

已知函数g(x)=13ax3+2x2-2x,函数f(x)是函数g(x)的导函数.(1)若a=1,求g(x)的单调减区间;(2)当a∈(0,+∞)时,若存在一个与

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已知函数g(x)=
1
3
ax3+2x2-2x
,函数f(x)是函数g(x)的导函数.
(1)若a=1,求g(x)的单调减区间;
(2)当a∈(0,+∞)时,若存在一个与a有关的负数M,使得对任意x∈[M,0]时,-4≤f(x)≤4恒成立,求M的最小值及相应的a值.
答案
(1)当a=1时,g(x)=
1
3
x3+2x2-2x,g′(x)=x2+4x-2
…(2分)
由g"(x)<0解得-2-


6
<x<-2+


6
…(4分)
∴当a=1时函数g(x)的单调减区间为(-2-


6
,-2+


6
)
;…(5分)
(2)易知f(x)=ax2+4x-2=a(x+
2
a
)2-2-
4
a

显然f(0)=-2,由(2)知抛物线的对称轴x=-
2
a
<0
…(7分)
①当-2-
4
a
<-4
即0<a<2时,M∈(-
2
a
,0)
且f(M)=-4令ax2+4x-2=-4解得x=
-2±


4-2a
a
…(8分)
此时M取较大的根,即M=
-2+


4-2a
a
=
-2


4-2a
+2
…(9分)
∵0<a<2,∴M=
-2


4-2a
+2
>-1
…(10分)
②当-2-
4
a
≥-4
即a≥2时,M<-
2
a
且f(M)=4
令ax2+4x-2=4解得x=
-2±


4+6a
a
…(11分)
此时M取较小的根,即M=
-2-


4+6a
a
=
-6


4+6a
-2
…(12分)
∵a≥2,∴M=
-6


4+6a
-2
≥-3
当且仅当a=2时取等号…(13分)
由于-3<-1,所以当a=2时,M取得最小值-3  …(14分)
举一反三
已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex
(Ⅰ)若m=-1,求函数f(x)的极值
(Ⅱ)若函数f(x)的单调递减区间为(-4,-2),求实数m的值.
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函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10,则a+b的值为______.
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设函数f(x)=lnx+x2+ax
(1)若x=
1
2
时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a、b、c为常数),f(x)在x=-1处有极值,曲线y=f(x)在点(3,-24)处的切线方程为8x+y=0,求a、b、c.
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定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足xf′(x)-f(x)<0,则对任意a,b∈(0,+∞)且a>b,有(  )
A.af(a)>bf(b)B.bf(a)>af(b)C.af(a)<bf(b)D.bf(a)<af(b)
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