已知点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)是函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象上的两点,若对于任意实数x1,x2,当x1+x2=0时,以P,
题型:不详难度:来源:
已知点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)是函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象上的两点,若对于任意实数x1,x2,当x1+x2=0时,以P,Q为切点分别作函数f(x)的图象的切线,则两切线必平行,并且当x=1时函数f(x)取得极小值1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若M(t,g(t))是函数g(x)=f(x)+3x-3(1≤x≤6)的图象上的一点,过M作函数g(x)图象的切线,切线与x轴和直线x=6分别交于A,B两点,直线x=6与x轴交于C点,求△ABC的面积的最大值. |
答案
(1)由题意:f"(x)=3x2+2ax+b 且f"(-x)=f"(x)恒成立知a=0① 又由⇒ 由①②③得:a=0,b=-3,c=3,f(x)=x3-3x+3…(5分) (2)g(x)=f(x)+3x-3=x3(1≤x≤6) g(x)在M处的切线方程是:y-t3=3t2(x-t), 即y=3t2x-2t3(1≤t≤6) 令x=6可得:B(6,18t2-2t3),C(6,0). △ABC的面积S=(6-t)(18t2-2t3)=t4-12t3+54t2, S′=t3-36t2+108t=t(2t-9)(t-9), 令S′=0可得:t=,t-=0(舍),t=9(舍), ∴S在[1,]上为增函数,[,6]上为减函数, ∴△ABC的面积的最大值为S()=. |
举一反三
已知函数g(x)=ax3+2x2-2x,函数f(x)是函数g(x)的导函数. (1)若a=1,求g(x)的单调减区间; (2)当a∈(0,+∞)时,若存在一个与a有关的负数M,使得对任意x∈[M,0]时,-4≤f(x)≤4恒成立,求M的最小值及相应的a值. |
已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex (Ⅰ)若m=-1,求函数f(x)的极值 (Ⅱ)若函数f(x)的单调递减区间为(-4,-2),求实数m的值. |
函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10,则a+b的值为______. |
设函数f(x)=lnx+x2+ax (1)若x=时,f(x)取得极值,求a的值; (2)若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a、b、c为常数),f(x)在x=-1处有极值,曲线y=f(x)在点(3,-24)处的切线方程为8x+y=0,求a、b、c. |
最新试题
热门考点