已知函数f(x)=2ax+a2-1x2+1，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

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已知函数f(x)=2ax+a2-1x2+1，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

题型：西城区二模难度：来源：
已知函数f(x)=
2ax+a2-1
x2+1
，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
答案
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=
2x
x2+1
，f′(x)=-
2(x+1)(x-1)
(x2+1)2
．    …（2分）
∴f"（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（4分）
（Ⅱ）求导函数可得，f′(x)=-
2(x+a)(ax-1)
(x2+1)2
．                             …（6分）
当a=0时，f′(x)=
2x
(x2+1)2
，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．          …（7分）
当a≠0，f′(x)=-2a
(x+a)(x-
1
a
)
(x2+1)2
．
①当a＞0时，令f"（x）=0，得x1=-a，x2=
1
a
，f（x）与f"（x）的情况如下：
解析
举一反三
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x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）
f"（x）-0+0-
f（x）↘f（x1）↗f（x2）↘
x（-∞，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+∞）
f"（x）+0-0+
f（x）↗f（x2）↘f（x1）↗
已知函数f（x）=
lna+lnx
x
在[1，+∞]上为减函数，则a的取值范围是（　　）
A．0＜a＜
1
e
B．a≥eC．a≥
15
4
D．a≥4
已知函数f(x)=
ax2+bx+c
ex
(a＞0)的导函数y=f"（x）的两个零点为-3和0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的极小值为-e3，求f（x）在区间[-5，+∞）上的最大值．
已知函数f（x）=
1
2
x2+2ax，g（x）=3a2Inx+b，
（Ⅰ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式；
（Ⅱ）若b=0，h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．
若f(x)=ax+
a
x
-3lnx在区间[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是______．
设函数f（x）=alnx-x，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．