已知二次函数f（x）=ax2+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=xf
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已知二次函数f（x）=ax2+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．
（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值． |
答案
（1）∵f（x）=ax2+bx-3，
∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函数f（x）=ax2+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，
∴，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x2-2x-3．
（2）∵f（x）=x2-2x-3，
∴g（x）=xf（x）+4x=x3-2x2+x，
所以g′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得x1=，x2=1．
| x | （-∞，） | | （，1） | 1 | （1，+∞） | | g′（x） | + | 0 | - | 0 | + | | g（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值0 | ↑ |
举一反三
已知函数f（x）=a（x-1）2+lnx．a∈R．
（Ⅰ）当a=-时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求a的取值范围． | | 已知y=x3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调函数，则b的取值范围是______． | 已知函数f（x）=ax+-3ln x．
（1）a=2时，求f（x）的最小值；
（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围． | | 已知函数f（x）=x3+a2x2+ax+b（a＞0），当x=-1时函数f（x）的极值为，则f（2）=______． | 设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数，若是，求实数a的取值范围；若不是，请说明理由． |
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