已知f（x）=ln（x+1），g(x)=12ax2+bx，（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，b

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已知f（x）=ln（x+1），g(x)=

ax2+bx，
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，b=1时，求证：f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立；
（III）证明：若0＜x＜y，则xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

．

答案

（Ⅰ）b=2时h(x)=lnx-

ax2-2x，h′(x)=

-ax-2，
∵h（x）有单调递减区间，∴h′（x）＜0有解，即

1-ax2-2x

＜0有解，
∵x＞0，∴ax²+2x-1＞0有解，．（2分）
①a≥0时合题意
②a＜0时，△=4+4a＞0，即a＞-1，
∴a的取值范围是（-1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）设ϕ（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x
ϕ′(x)=

x+1

-1=

-x

x+1

．

举一反三

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