已知f(x)=ln(x+1),g(x)=12ax2+bx,(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(Ⅱ)若a=0,b

已知f(x)=ln(x+1),g(x)=12ax2+bx,(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(Ⅱ)若a=0,b

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已知f(x)=ln(x+1),g(x)=
1
2
ax2+bx

(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)若a=0,b=1时,求证:f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立;
(III)证明:若0<x<y,则xlnx+ylny>(x+y)ln
x+y
2
答案
(Ⅰ)b=2时h(x)=lnx-
1
2
ax2-2x,h(x)=
1
x
-ax-2

∵h(x)有单调递减区间,∴h′(x)<0有解,即
1-ax2-2x
x
<0
有解,
∵x>0,∴ax2+2x-1>0有解,.(2分)
①a≥0时合题意
②a<0时,△=4+4a>0,即a>-1,
∴a的取值范围是(-1,+∞).(4分)
(Ⅱ)设ϕ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x
ϕ(x)=
1
x+1
-1=
-x
x+1

举一反三
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x(-1,0)0(0,+∞)
ϕ′(x)+0-
ϕ(x)最大值
已知函数y=loga(2-ax)在(-1,1)上是x的减函数,则a的取值范围是______.
已知函数f(x)=
1
2
x2+lnx

(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)求证:在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=
2
3
x3
图象的下方;
(Ⅲ)请你构造函数h(x),使函数F(x)=f(x)+h(x)在定义域(0,+∞)上,存在两个极值点,并证明你的结论.
函数y=x3+
12x
x-1
的单调递增区间为______.
函数f(x)=(3x-4)ex的单调增区间是______.
已知函数f(x)=lnx+
a
x
(a>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)如果P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的点,且x0∈(0,3),若以P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤
1
2
恒成立,求实数a的最小值.