(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞),又f′(x)=2x-2(-1)k=, 1°当k 为奇数时,f′(x)=,∵x∈(0,+∞),∴f′(x)>0恒成立; 2°当k 为偶数时,f′(x)=,∵x+1>0,∴f′(x)>0得x>1,即f(x)的单调增区间为(1,+∞), 综上所述,当k 为奇数时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),当k 为偶数时,即f(x)的单调增区间为(1,+∞), (Ⅱ)当k 为偶数时,由(1)知f′(x)=2x-,∴f′(an)=2an-, 由条件得:2(an2-1)=a n+12-3,故有:an+12+1=2(an2+1), ∴{an2+1}是一个公比为2的等比数列,∴an2=2n-1, 假设数列{an2}中的存在三项ar2,s 2,at2,能构成等差数列 不妨设r<s<t,则2as2=a r 2+at2, 即2(2s-1)=2r-1+2t-1,∴2 s-r+1=1+2 t-r, 又s-r+1>0,t-r>0,∴2 s-r+1为偶数,1+2 t-r为奇数,故假设不成立, 因此,数列{an2}中的任意三项不能构成等差数列; (Ⅲ) 当k为奇数时,f′(x)=2(x+), ∴bn=f′(n)-n=,Sn=1+++…+ 要证(1+bn) >e,即证(1+)n+1>e,两边取对数, 即证ln(1+)>(10分) 设1+=t,则n=, lnt>1-(t>1),构造函数g(t)=lnt+-1, ∵x>1,∴g′(t)=->0 ∴g(t)在(1,+∞)上是增函数,g(t)>g(1)>0 即lnt>1-,∴(1+bn) >e, S2012-1=(1+++…+)-1=++…+, ∵ln(1+)>,∴++…+<ln2+ln(1+)+…+ln(1+)=ln2+ln+…+ln =ln(2××…×)=ln2012, ∴++…+<ln2012, |