已知函数f(x)=2ax-1x2,x∈(0,1].(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.

已知函数f(x)=2ax-1x2,x∈(0,1].(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=2ax-
1
x2
,x∈(0,1].
(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.
答案
(1)由已知可得f′(x)=2a+
2
x3

∵f(x)在(0,1)上是增函数,
∴f′(x)>0,即a>-
1
x3
,x∈(0,1].∴a>-1.
当a=-1时,f′(x)=-2+
2
x3
对x∈(0,1)也有f′(x)>0,
满足f(x)在(0,1]上为增函数,∴a≥-1.
(2)由(1)知,当a≥-1时,f(x)在(0,1]上为增函数,
∴[f(x)]max=f(1)=2a-1.
当a<-1时,令f′(x)=0得x=
1
3-a


∵0<
1
3-a

<1,∴0<x<
1
3-a

时,
f′(x)>0;
1
3-a

<x≤1时,f′(x)<0.∴f(x)在(0,
1
3-a

)上是增函数,
在(
1
3-a

,1]减函数.
∴[f(x)]max=f(
1
3-a

)=-3
3a2

举一反三
已知x∈R,求证:ex≥x+1.
题型:不详难度:| 查看答案
若函数f(x)=x-
p
x
在(1,+∞)上是增函数,则实数p的取值范围是______.
题型:浦东新区一模难度:| 查看答案
设函数f(x)=
a
3
x3+
b-1
2
x2+x+5(a,b∈R,a>0)的定义域为R.当x=x1时取得极大值,当x=x2时取得极小值.
(I)若x1<2<x2<4,求证:函数g(x)=ax2+bx+1在区间(-∞,-1]上是单调减函数;
(II)若|x1|<2,|x1-x2|=4,求实数b的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x2-ax)ex(a∈R)
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递减区间.
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.
(3)函数f(x)可否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围,若不是,请说明理由.
题型:广州模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[0,1],g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].
(1)求f(x)的值域M;
(2)若a≥1,求g(x)的值域N;
(3)在(2)的条件下,若对于任意的x∈[0,1],总存在x0∈[0,1]使得f(x1)=g(x0),求a的取值范围.
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
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