已知函数f(x)=(x2-ax)ex(a∈R)(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递减区间.(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.(3
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已知函数f(x)=(x2-ax)ex(a∈R) (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递减区间. (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围. (3)函数f(x)可否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围,若不是,请说明理由. |
答案
(1)当a=2时,f(x)=(x2-2x)ex, ∴f′(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex,令f′(x)<0即(x2-2)ex<0, ∴x2-2<0,∴-<x<,∴函数f(x)的单调递减区间是(-,). (2)f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=[x2+(2-a)x-a]ex, ∵f(x)在(-1,1)上单调递减,∴x∈(-1,1)时,f′(x)≤0恒成立, 即x∈(-1,1)时,x2+(2-a)x-a≤0恒成立.即a≥=x+1-对一切x∈(-1,1)恒成立,令g(x)=x+1-,g′(x)=1+>0, ∴g(x)在(-1,1)上是增函数.∴g(x)≤1+1-=,a≥, 即a的取值范围是[,+∞). (3)∵f′(x)=[x2+(2-a)x-a]ex,设t=x2+(2-a)x-a, △=(2-a)2+4a=a2+4>0,∴x∈R时,t不恒为正值,也不恒为负值. 即f′(x)的值不恒正,也不恒负,故f(x)在R上不可能单调. |
举一反三
已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[0,1],g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1]. (1)求f(x)的值域M; (2)若a≥1,求g(x)的值域N; (3)在(2)的条件下,若对于任意的x∈[0,1],总存在x0∈[0,1]使得f(x1)=g(x0),求a的取值范围. |
已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+,其中x∈R,θ为参数,且0≤θ≤. (Ⅰ)当cosθ=0时,判断函数f(x)是否有极值; (Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围; (Ⅲ)若对(II)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+2kx-1(k<0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当实数k在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. |
设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|,已知f(-1)=f(1),且f(-)=f()(a∈R,且a≠0),函数g(x)=ax3+bx2+cx(b∈R,c为正整数)有两个不同的极值点,且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上. (1)试求a、b的值; (2)若x≥0时,函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方,求正整数c的值. |
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