(1)∵f(-1)=f(1),∴|1-a|=2+|a+1|① 又f(-)=f(), ∴|1-|=|+1|+2,即|1-a|=2|a|+|a+1|② 由①②得|a|=1, ∴a=±1. 又∵a=1时,①、②不成立, 故∴a=-1. ∴g(x)=-x3+bx2+cx, 设x1、x2是函数g(x)的两个极值点,则x1、x2是方程g′(x)=-3x2+2bx+c=0的两个根,△=4b2+12c>0(c为正整数), ∴x1+x2=, 又∵A、O、B三点共线, ∴=, ∴(x1-x2)[-(x1+x2)+b]=0, 又∵x1≠x2, ∴b=x1+x2=, ∴b=0. (2)∵x≥0时,f(x)min=2, 由g′(x)=-3x2+c=0得x=,可知g(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞) 上单调递减,g(x)极大值=g()=-+c=. ①由得c<3,∴c的值为1或2.(∵c为正整数) ②>1时,记g(x)在x∈[1,]上切线斜率为2的切点的横坐标为x0, 则由g′(x)=-3x2+c=2得x0=,依题意得g(x0)<f(x0),∴-x03+cx0<2x0, ∴x02>c-2, ∴>c-2,得c<2,与c>3矛盾. (或构造函数h(x)=2x-g(x)在x≥1上恒正) 综上,所求c的值为1或2. |