设a>0,函数f(x)=alnxx(1)讨论f(x)的单调性(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
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设a>0,函数f(x)=alnxx(1)讨论f(x)的单调性(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
题型:西城区一模
难度:
来源:
设a>0,函数
f(x)=
alnx
x
(1)讨论f(x)的单调性
(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
答案
(1)∵函数
f(x)=
alnx
x
(x>0),
∴f′(x)=
a(1-lnx)
x
2
∵a>0,所以判断1-lnx的符号,
当0<x<e时,f′(x)>0,为增函数,
当x>e时,f′(x)<0,为减函数,
∴x=e为f(x)的极大值,
∴f(x)在(0,e)上单调递增;(e,+∞)是减函数.
(2)∵f(x)在(0,e)上单调递增;(e,+∞)是减函数
∴当a≤2e,x=a时有最小值,为f(a)=
alna
a
=lna.
当a>2e,x=2a时有最小值,为f(a)=
aln(2a)
2a
=ln
ln(2a)
2
.
举一反三
已知函数f(x)、g(x)满足x∈R时,f′(x)>g′(x),则x
1
<x
2
时,则f(x
1
)-f(x
2
)______g(x
1
)-g(x
2
).(填>、<、=)
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=x
3
+3bx-3b在区间(0,1)内存在极小值,则实数b的取值范围为( )
A.-1<b<0
B.b>-1
C.b<0
D.
b>-
1
2
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=x-a
x
+lnx
(a为常数).
(Ⅰ)当a=5时,求f(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.
题型:深圳一模
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+c(a,b,c∈R,a≠0).
(1)若函数y=f(x)的图象经过点(0,0),(-1,0),求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a=b=1,函数y=f(x)与直线y=2的图象有两个不同的交点,求c的值.
题型:不详
难度:
|
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已知定义在正实数集上的函数f(x)=
1
2
x
2
+2ax,g(x)=3a
2
lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(Ⅰ)用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)求证:f(x)≥g(x) (x>0).
题型:湖北
难度:
|
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