已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
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已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
题型:湖北
难度:
来源:
已知定义在正实数集上的函数f(x)=
1
2
x
2
+2ax,g(x)=3a
2
lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(Ⅰ)用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)求证:f(x)≥g(x) (x>0).
答案
(Ⅰ)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x
0
,y
0
)处的切线相同.
∵f"(x)=x+2a,
g′(x)=
3
a
2
x
,由题意f(x
0
)=g(x
0
),f"(x
0
)=g"(x
0
).
即
1
2
x
20
+2a
x
0
=3
a
2
ln
x
0
+b
x
0
+2a=
3
a
2
x
0
由
x
0
+2a=
3
a
2
x
0
得:x
0
=a,或x
0
=-3a(舍去).
即有
b=
1
2
a
2
+2
a
2
-3
a
2
lna=
5
2
a
2
-3
a
2
lna
.
令
h(t)=
5
2
t
2
-3
t
2
lnt(t>0)
,则h"(t)=2t(1-3lnt).
于是当t(1-3lnt)>0,即
0<t<
e
1
3
时,h"(t)>0;当t(1-3lnt)<0,即
t>
e
1
3
时,h"(t)<0.
故h(t)在
(0,
e
1
3
)
为增函数,在
(
e
1
3
,+∞)
为减函数,
于是h(t)在(0,+∞)的最大值为
h(
e
1
3
)=
3
2
e
2
3
.
(Ⅱ)设
F(x)=f(x)-g(x)=
1
2
x
2
+2ax-3
a
2
lnx-b(x>0)
,
则F"(x)=
x+2a-
3
a
2
x
=
(x-a)(x+3a)
x
(x>0)
.
故F(x)在(0,a)为减函数,在(a,+∞)为增函数,
于是函数F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x
0
)=f(x
0
)-g(x
0
)=0.
故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,即当x>0时,f(x)≥g(x).
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+a
2
在x=1处有极值10,则f(2)等于( )
A.11或18
B.11
C.18
D.17或18
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx-2x
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
题型:广州二模
难度:
|
查看答案
设奇函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象在P(1,f(1))处的切线的斜率为-6.且x=2时,f(x)取得极值.
(1)求实数a、b、c、d的值;
(2)设函数f(x)的导函数为f"(x),函数g(x)的导函数
g′(x)=-
1
2
f′(x)+4mx-3m
x
2
-4
,m∈(0,1),求函数g(x)的单调区间;
(3)在(2)的条件下,当x∈[m+1,m+2]时,|g"(x)|≤m恒成立,试确定m的取值范围.
题型:成都三模
难度:
|
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设函数f(x)=x
2
-2(-1)
k
lnx(k∈N
*
),f
′
(x)表示f(x)导函数.
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当k为偶数时,数列{a
n
}满足a
1
=1,
a
n
f
′
(a
n
)
=a
2n+1
-3
.证明:数列{
a
2n
}中不存在成等差数列的三项;
(Ⅲ)当k为奇数时,设
b
n
=
1
2
f
′
(n)-n
,数列{b
n
}的前n项和为S
n
,证明不等式
(1
+b
n
)
1
b
n+1
>
e对一切正整数n均成立,并比较S
2012
-1与ln2012的大小.
题型:济南三模
难度:
|
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已知函数f(x)=ax-
ln(1+x)
1+x
在x=0处取得极值.
(I)求实数a的值,并判断,f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)若数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
),求证:0<a
n+1
<a
n
≤l;
(Ⅲ)在(II)的条件.下,记s
n
=
a
1
1+
a
1
+
a
1
.
a
2
(1+
a
1
)(1+
a
2
)
+…+
a
1
.
a
2
…
a
n
(1+
a
1
)(1+
a
2
)…(1+
a
n
)
,求证:s
n
<1.
题型:潍坊二模
难度:
|
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