设奇函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象在P(1,f(1))处的切线的斜率为-6.且x=2时,f(x)取得极值.(1)求实数a、b、c、d的值;(2)设
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设奇函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象在P(1,f(1))处的切线的斜率为-6.且x=2时,f(x)取得极值.(1)求实数a、b、c、d的值;(2)设
题型:成都三模
难度:
来源:
设奇函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象在P(1,f(1))处的切线的斜率为-6.且x=2时,f(x)取得极值.
(1)求实数a、b、c、d的值;
(2)设函数f(x)的导函数为f"(x),函数g(x)的导函数
g′(x)=-
1
2
f′(x)+4mx-3m
x
2
-4
,m∈(0,1),求函数g(x)的单调区间;
(3)在(2)的条件下,当x∈[m+1,m+2]时,|g"(x)|≤m恒成立,试确定m的取值范围.
答案
(1)∵y=f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立,
∴-ax
3
+bx
2
-cx+d=ax
3
+bx
2
+cx+d
∴b=d=0.
从而f(x)=ax
3
+cx.
∴f′(x)=3ax
2
+c…(2分)
又函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象在P(1,f(1))处的切线的斜率为-6,且x=2时,f(x)取得极值
∴f′(1)=-6,f′(2)=0,
∴
3a+c=-6
12a+c=0
∴
a=
2
3
c=-8
∴
a=
2
3
,b=0,c=-8,d=0.
(2)依题意,g"(x)=-x
2
+4mx-3m
2
,m∈(0,1).
令g"(x)=-x
2
+4mx-3m
2
=0,得x=m或x=3m.
当x变化时,g"(x)、g(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,m)
(m,3m)
(3m,+∞)
g"(x)的符号
-
+
-
g(x)的单调性
递减
递增
递减
举一反三
设函数f(x)=x
2
-2(-1)
k
lnx(k∈N
*
),f
′
(x)表示f(x)导函数.
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当k为偶数时,数列{a
n
}满足a
1
=1,
a
n
f
′
(a
n
)
=a
2n+1
-3
.证明:数列{
a
2n
}中不存在成等差数列的三项;
(Ⅲ)当k为奇数时,设
b
n
=
1
2
f
′
(n)-n
,数列{b
n
}的前n项和为S
n
,证明不等式
(1
+b
n
)
1
b
n+1
>
e对一切正整数n均成立,并比较S
2012
-1与ln2012的大小.
题型:济南三模
难度:
|
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已知函数f(x)=ax-
ln(1+x)
1+x
在x=0处取得极值.
(I)求实数a的值,并判断,f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)若数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
),求证:0<a
n+1
<a
n
≤l;
(Ⅲ)在(II)的条件.下,记s
n
=
a
1
1+
a
1
+
a
1
.
a
2
(1+
a
1
)(1+
a
2
)
+…+
a
1
.
a
2
…
a
n
(1+
a
1
)(1+
a
2
)…(1+
a
n
)
,求证:s
n
<1.
题型:潍坊二模
难度:
|
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已知函数f(x)=
x
2
8
-lnx,x∈[1,3],
(1)求f(x)的最大值与最小值;
(2)若f(x)<4-at于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=(x-1)e
x
-kx
2
(k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当
k∈(
1
2
,1]
时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.
题型:广东
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
+xsinx+cosx.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
题型:北京
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|
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