设k∈R，函数f(x)=11-xx＜1-x-1x≥1，F（x）=f（x）-kx，x∈R，试讨论函数F（x）的单调性．

题型：广东难度：来源：

设k∈R，函数f(x)=

1 1-x x＜1 - x-1 x≥1

，F（x）=f（x）-kx，x∈R，试讨论函数F（x）的单调性．

答案

F(x)=f(x)-kx=

1 1-x -kx x＜1 - x-1 -kx x≥1

F′(x)=

1 (1-x)2 -k x＜1 - 1 2 x-1 -k x≥1

对于F(x)=

1

1-x

-kx(x＜1)，
当k≤0时，函数F（x）在（-∞，1）上是增函数；
当k＞0时，函数F（x）在(-∞，1-

1

k

)上是减函数，在(1-

1

k

，1)上是增函数；
对于F(x)=-

1

2 x-1

-k(x≥1)，
当k≥0时，函数F（x）在[1，+∞）上是减函数；
当k＜0时，函数F（x）在[1，1+

1

4k2

)上是减函数，在[1+

1

4k2

，+∞)上是增函数．