(Ⅰ)f"(x)=4+2ax-2x2,∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f"(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立, 即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.① 设φ(x)=x2-ax-2, ①⇔ | φ(1)=1-a-2≤0 | φ(-1)=1+a-2≤0 |
| | ⇔-1≤a≤1, ∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f"(-1)=0以及当a=-1时,f"(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由4x+ax2-x3=2x+x3,得x=0,或x2-ax-2=0, ∵△=a2+8>0 ∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2, 从而|x1-x2|==. ∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3. 要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立, 即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立.② 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), ②⇔g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0, ⇔m≥2或m≤-2. 所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立, 其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}. |