函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数f"(x)是减函数,且f′(x)>0.设x0∈(0,+∞),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)
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函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数f"(x)是减函数,且f′(x)>0.设x0∈(0,+∞),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))得的切线方程,并设函数g(x)=kx+m. (Ⅰ)用x0、f(x0)、f′(x0)表示m; (Ⅱ)证明:当x0∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x). |
答案
(Ⅰ)y-f(x0)=f"(x0)(x-x0) ∴m=f(x0)-x0f"(x0). (Ⅱ)证明:令h(x)=g(x)-f(x),则h"(x)=f"(x0)-f"(x),h"(x0)=0. 因为f"(x)递减,所以h"(x)递增,因此,当x>x0时,h"(x)>0; 当x<x0时,h"(x)<0.所以x0是h(x)唯一的极值点,且是极小值点, 可知h(x)的最小值为0,因此h(x)≥0,即g(x)≥f(x). |
举一反三
已知f(x)=(x≠-1),它的单调区间是______. |
已知f(x)=ax3+x2+cx是定义在R上的函数,f(x)在[-1,0]和[4,5]上是减函数,在[0,2]上是增函数. (I)求c的值; (II)求a的取值范围; (III)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1]. (1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围; (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值. |
若函数f(x)=x-在(1,+∞)上是增函数,则实数p的取值范围是______. |
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