已知f(x)=ax3+x2+cx是定义在R上的函数,f(x)在[-1,0]和[4,5]上是减函数,在[0,2]上是增函数.(I)求c的值;(II)求a的取值范围
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已知f(x)=ax3+x2+cx是定义在R上的函数,f(x)在[-1,0]和[4,5]上是减函数,在[0,2]上是增函数. (I)求c的值; (II)求a的取值范围; (III)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. |
答案
(I)对函数f(x)=ax3+x2+cx求导数,得,f′(x)=3ax2+2x+c ∵f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数 ∴函数f(x)在x=0处有极小值, ∴f′(0)=0,即3a×02+2×0+c=0 ∴c=0 (II)∵f(x)=ax3+x2,∴f′(x)=3ax2+2x 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=- ∵f(x)在[0,2]上是增函数,在[4,5]上是减函数 即f′(x)在[0,2]上大于或等于零,在[4,5]上小于或等于零 ∴x2∈[2,4] 即 ∴-6≤≤-3 ∴-≤a≤- (III)假设存在点M(x0,y0)使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3, 则f′(x0)=3,即3ax02+2x0-3=0,其中△=4+36a ∵-≤a≤- ∴-12≤36a≤-6 ∴△<0∴3ax02+2x0-3=0无实数根 ∴f′(x0)=3不成立 ∴不存在点M(x0,y0)使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3. |
举一反三
已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1]. (1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围; (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值. |
若函数f(x)=x-在(1,+∞)上是增函数,则实数p的取值范围是______. |
设函数f(x)=x3+x2+x+5(a,b∈R,a>0)的定义域为R.当x=x1时取得极大值,当x=x2时取得极小值. (I)若x1<2<x2<4,求证:函数g(x)=ax2+bx+1在区间(-∞,-1]上是单调减函数; (II)若|x1|<2,|x1-x2|=4,求实数b的取值范围. |
已知函数f(x)=(x2-ax)ex(a∈R) (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递减区间. (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围. (3)函数f(x)可否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围,若不是,请说明理由. |
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