已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（I）求m与n的关系表达式；（II）求f（x）的单调区间．
题型：山东难度：来源：
已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（I）求m与n的关系表达式；
（II）求f（x）的单调区间． |
答案
（I）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n，
因为x=1是f（x）的一个极值点，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6．
（II）由（I）知，
f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+)]．
当m＜0时，有1＞1+，当x变化时，f（x）与f"（x）的变化如下表：
| x | (-∞，1+) | 1+ | (1+，1) | 1 | （1，+∞） | | f′（x） | ＜0 | 0 | ＞0 | 0 | ＜0 | | f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
举一反三
函数f( x )=2x-的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围． | 函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f"（x）是减函数，且f′（x）＞0．设x0∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））得的切线方程，并设函数g（x）=kx+m．
（Ⅰ）用x0、f（x0）、f′（x0）表示m；
（Ⅱ）证明：当x0∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）． | | 已知f(x)=(x≠-1)，它的单调区间是______． | 已知f（x）=ax3+x2+cx是定义在R上的函数，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范围；
（III）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． | 已知函数f（x）=2ax-，x∈（0，1]．
（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值． |
最新试题
热门考点
|