已知函数f（x）=x2eax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

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已知函数f（x）=x²e^ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

答案

（Ⅰ）f"（x）=x（ax+2）e^ax．
（i）当a=0时，令f"（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f"（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f"（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＜0时，令f′(x)=0，得x(ax+2)=0，故x=0或x=-

.
若x＜0，则f"（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减；
若0＜x＜-

，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，-

)上单调递增；
若x＞-

，则f′(x)＜0，从而f(x)在(-

，+∞)上单调递减．
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．
（ii）当-2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=e^a．
（iii）当a≤-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f(-

a2e2

举一反三

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（I）求m与n的关系表达式；
（II）求f（x）的单调区间．

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函数f( x )=2x-

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．

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函数y=f（x）在区间（0，+∞）内可导，导函数f"（x）是减函数，且f′（x）＞0．设x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））得的切线方程，并设函数g（x）=kx+m．
（Ⅰ）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（Ⅱ）证明：当x₀∈（0，+∞）时，g（x）≥f（x）．

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已知f(x)=

x+1

(x≠-1)，它的单调区间是______．

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已知f（x）=ax³+x²+cx是定义在R上的函数，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范围；
（III）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x₀，y₀），使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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