已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)．（1）判断f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为2，求a的值．

题型：韶关一模难度：来源：

已知函数f(x)=lnx-

a

x

(a∈R)．
（1）判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为2，求a的值．

答案

（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），．（0，+∞）
①当a≥0时，f"（x）＞0，故f（x）在上为增函数；
②当a＜0时，由f"（x）=0得x=-a；由f"（x）＞0得x＞-a；由f"（x）＜0得x＜-a；
∴f（x）在（0，-a]上为减函数；在（-a，+∞）上为增函数．
所以，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，-a]上是减函数，在（-a，+∞）上是增函数．
（2）∵f′(x)=

x+a

x2

，x＞0．由（1）可知：
①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）_min=f（1）=-a=2，得a=-2，矛盾!
②当0＜-a≤1时，即a≥-1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）_min=f（1）=-a=2，∴a=-2（舍去）．
③当1＜-a＜e时，即-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上是减函数，在（-a，e]上是增函数，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=2，得a=-e（舍去）．
④当-a≥e时，即a≤-e时，f（x）在[1，e]上是减函数，有f(x)min=f(e)=1-

a

e

=2，
∴a=-e．
综上可知：a=-e．