设函数f（x）=ln（x+a）+x2（I）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明

题型：海南难度：来源：

设函数f（x）=ln（x+a）+x²
（I）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln

e

2

．

答案

（Ⅰ）f′(x)=

1

x+a

+2x，
依题意有f"（-1）=0，故a=

3

2

．
从而f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

．
f（x）的定义域为(-

3

2

，+∞)，当-

3

2

＜x＜-1时，f"（x）＞0；
当-1＜x＜-

1

2

时，f"（x）＜0；
当x＞-

1

2

时，f"（x）＞0．
从而，f（x）分别在区间(-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)单调增加，在区间(-1，-

1

2

)单调减少．

（Ⅱ）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′(x)=

2x2+2ax+1

x+a

．
方程2x²+2ax+1=0的判别式△=4a²-8．
（ⅰ）若△＜0，即-

2

＜a＜

2

，在f（x）的定义域内f"（x）＞0，故f（x）的极值．
（ⅱ）若△=0，则a-

2

或a=-

2

．
若a=

2

，x∈(-

2

，+∞)，f′(x)=

( 2 x-1)2

x+ 2

．
当x=-

2

2

时，f"（x）=0，
当x∈(-

2

，-

2

2

)∪(-

2

2

，+∞)时，f"（x）＞0，所以f（x）无极值．
若a=-

2

，x∈(

2

，+∞)，f′(x)=

( 2 x-1)2

x- 2

＞0，f（x）也无极值．
（ⅲ）若△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

，则2x²+2ax+1=0有两个不同的实根x1=

-a- a2-2

2

，x2=

-a+ a2-2

2

．
当a＜-

2

时，x₁＜-a，x₂＜-a，从而f"（x）有f（x）的定义域内没有零点，
故f（x）无极值．
当a＞

2

时，x₁＞-a，x₂＞-a，f"（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别方法知f（x）在x=x₁，x=x₂取得极值．
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为(

2

，+∞)．
f（x）的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+

x

21

+ln(x2+a)+x22=ln

1

2

+a2-1＞1-ln2=ln

e

2

．