设x1,x2是函数f(x)=a3x3+b2x2-a2x(a>0)的两个极值点,且|x1-x2|=2.(Ⅰ)证明:0<a≤1;(Ⅱ)证明:|b|≤439.
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设x1,x2是函数f(x)=a3x3+b2x2-a2x(a>0)的两个极值点,且|x1-x2|=2.(Ⅰ)证明:0<a≤1;(Ⅱ)证明:|b|≤439.
题型:东城区一模
难度:
来源:
设x
1
,x
2
是函数
f(x)=
a
3
x
3
+
b
2
x
2
-
a
2
x(a>0)
的两个极值点,且|x
1
-x
2
|=2.
(Ⅰ)证明:0<a≤1;
(Ⅱ)证明:
|b|≤
4
3
9
.
答案
(Ⅰ)对f(x)求导可得f"(x)=ax
2
+bx-a
2
(a>0).(2分)
因为x
1
,x
2
是f(x)的两个极值点,所以x
1
,x
2
是方程f"(x)=0的两个实根.
于是
x
1
+
x
2
=-
b
a
,
x
1
x
2
=-a
,
故
|
x
1
-
x
2
|
2
=(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
b
2
a
2
+4a=4
,
即b
2
=4a
2
-4a
3
.(4分)
由b
2
≥0得4a
2
-4a
3
≥0,解得a≤1.a>0,
所以0<a≤1得证.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b
2
=4a
2
-4a
3
,设g(a)=4a
2
-4a
3
,
则g"(a)=8a-12a
2
=4a(2-3a).(8分)
由g"(a)>0
⇒0<a<
2
3
;g"(a)<0
⇒
2
3
<a≤1
.(10分)
故g(a)在
a=
2
3
时取得最大值
16
27
,
即
b
2
≤
16
27
,
所以
|b|≤
4
3
9
.(13分)
举一反三
已知函数
f(x)=lnx-
a
x
(a∈R)
.
(1)判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为2,求a的值.
题型:韶关一模
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-b
x
2
+cx+d在点(0,f(0))处的切线方程为y=2.
(I)求c、d的值;
(II)求函数f(x)的单调区间.
题型:丰台区二模
难度:
|
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设a>0,已知函数
f(x)=
alnx
x
,讨论f(x)的单调性.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
-3(a-1)x
2
-6ax,x∈R.,
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)当a≥0时,若函数f(x)在区间[-1,2]上是单调函数,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若函数
f(x)=
sinx
x
,且0<x
1
<x
2
<1,设
a=
sin
x
1
x
1
,b=
sin
x
2
x
2
,则a,b的大小关系是( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.b的大小关系不能确定
题型:不详
难度:
|
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