已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=[f(x)-k]x
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已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数,那么: ①求k的取值范围; ②是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由. |
答案
(1)∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1), 即a(-x+1)2+b(-x+1)=a(x+1)2+b(x+1)恒成立, 即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax ∵函数f(x)的图象与直线y=x相切, ∴二次方程ax2-(2a+1)x=0有两相等实数根, ∴△=(2a+1)2-4a×0=0 ∴a=-,f(x)=-x2+x(4分)
(2)①g(x)=-x3+x2-kx,g′(x)=-x2+2x-k ∵g(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数 ∴g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立. ∴△=4-4(-)(-k)≤0,得k≥ 故k的取值范围为[,+∞)(7分) ②∵f(x)=-(x-1)2+≤, ∴[km,kn]⊆(-∞,], ∴kn≤,又k≥, ∴n≤≤, ∴[m,n]⊆(-∞,1], ∴f(x)在[m,n]上是单调递增函数(9分) ∴即即(11分) ∵m<n故当≤k<1时,[m,n]=[0,2-2k]; 当k>1时,[m,n]=[2-2k,0];当k=1时,[m,n]不存在. (13分) |
举一反三
y=3x-x3的极大值是 ______,极小值是 ______. |
函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a、b、c为实数,当a2-3b<0时,f(x)是( )A.增函数 | B.减函数 | C.常数 | D.既不是增函数也不是减函数 |
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设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根. (1)求n的值; (2)求证:f(1)≥2. |
设函数f(x)=ln(x+a)+x2 (I)若当x=-1时,f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性; (II)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln. |
已知f(x)=x3+mx2+x+5,存在实数xo使f′(xo)=0,又f(x)是R上的增函数,则m的取值范围是( )A.(-∞,-]∪[,+∞) | B.{-,} | C.(-∞,-)∪(,+∞) | D.[-,] |
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