设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(

设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(

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设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a),设函数f(x)=lnx+
b+2
x+1
(x>1)
,其中b为实数.
(1)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(2)求函数f(x)的单调区间.
答案
(1)f′(x)=
1
x
-
b+2
(x+1)2
=
1
x(x+1)2
(x2-bx+1)

∵x>1时,h(x)=
1
x(x+1)2
>0
恒成立,
∴函数f(x)具有性质P(b);
(2)当b≤2时,对于x>1,φ(x)=x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0
所以f′(x)>0,故此时f(x)在区间(1,+∞)上递增;
当b>2时,φ(x)图象开口向上,对称轴x=
b
2
>1

方程φ(x)=0的两根为:
b+


b2-4
2
b-


b2-4
2
,而
b+


b2-4
2
>1,
b-


b2-4
2
=
2
b+


b2-4
∈(0,1)

x∈(1,
b+


b2-4
2
)
时,φ(x)<0,f′(x)<0,
故此时f(x)在区间(1,
b+


b2-4
2
)
上递减;
同理得:f(x)在区间[
b+


b2-4
2
,+∞)
上递增.
综上所述,当b≤2时,f(x)在区间(1,+∞)上递增;
当b>2时,f(x)在(1,
b+


b2-4
2
)
上递减;f(x)在[
b+


b2-4
2
,+∞)
上递增.
举一反三
已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.
题型:山东难度:| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数,那么:
①求k的取值范围;
②是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
y=3x-x3的极大值是 ______,极小值是 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a、b、c为实数,当a2-3b<0时,f(x)是(  )
A.增函数
B.减函数
C.常数
D.既不是增函数也不是减函数
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根.
(1)求n的值;
(2)求证:f(1)≥2.
题型:不详难度:| 查看答案
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