(I)f′(x)=+3x2-2x-a=x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)] | ax+1 |
∵x=为f(x)的极值点,∴f′()=0, ∴3a()2+(3-2a)-(a2+2)=0且a+1≠0,解得a=0 又当a=0时,f"(x)=x(3x-2),从而x=为f(x)的极值点成立. (II)因为f(x)在[1,+∞)上为增函数, 所以x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)] | ax+1 | ≥0在[1,+∞)上恒成立.(6分) 若a=0,则f"(x)=x(3x-2),此时f(x)在[1,+∞)上为增函数成立,故a=0符合题意 若a≠0,由ax+1>0对x>1恒成立知a>0. 所以3ax2+(3-2a)x-(a2+2)≥0对x∈[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=3ax2+(3-2a)x-(a2+2),其对称轴为x=-, 因为a>0,所以-<,从而g(x)在[1,+∞)上为增函数. 所以只要g(1)≥0即可,即-a2+a+1≥0成立 解得≤a≤ 又因为a>0,所以0<a≤.(10分) 综上可得0≤a≤即为所求 (III)若a=-1时,方程f(1-x)-(1-x)3= 可得lnx-(1-x)2+(1-x)= 即b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在x>0上有解 即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域. 法一:b=x(lnx+x-x2)令h(x)=lnx+x-x2 由h′(x)=+1-2x=∵x>0∴当0<x<1时,h"(x)>0, 从而h(x)在(0,1)上为增函数; 当x>1时,h"(x)<0,从而h(x)在(1,+∞)上为减函数. ∴h(x)≤h(1)=0,而h(x)可以无穷小.∴b的取值范围为(-∞,0](15分) 法二:g"(x)=lnx+1+2x-3x2g″(x)=+2-6x=-x 当0<x<时,g″(x)>0,所以g′(x)在0<x<上递增; 当x>时,g″(x)<0,所以g′(x)在c>上递减; 又g"(1)=0,∴令g′(x0)=0,0<x0<∴当0<x<x0时,g"(x)<0, 所以g(x)在0<x<x0上递减;当x0<x<1时,g"(x)>0, 所以g(x)在x0<x<1上递增;当x>0时,g(x)<0,所以g(x)在x>1上递减; 又当x→+∞时,g(x)→-∞,g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+) 当x→0时,lnx+<0,则g(x)<0,且g(1)=0所以b的取值范围为(-∞,0] |